16.21 Techniques of structural analysis and design

Home assignment 2

Question 1: The question in these problems is whether the differential equations of equilibrium are satisfied, i.e.:

\(TraditionalForm\`∂\_\(x\_j\)σ\_ji\  = \ \(\(0\)\(\ \)\(?\)\)\)

a) (not for grade)

(Subscript[σ, 1, 1])  =  -3 (Subscript[x, 1])  +  
          6 (Subscript[x, 2]);
(Subscript[σ, 1, 2])  =  (Subscript[σ, 2,1  ]) = 
          4 (Subscript[x, 1])  +  3 (Subscript[x, 2]);
(Subscript[σ, 2, 2])  =  5 (Subscript[x, 1])  +  4 (Subscript[x, 2]);

Table[
      Sum[(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, j, i]),  {j, 3}], {i, 
        3}]

The stress field given is not equilibrium

(b)

(Subscript[σ, 1, 1])  =  
        (Subscript[c, 1]) (Subscript[x, 1])  +  (Subscript[c, 2]) ((Subscript[x, 2 ])^2) +  
          (Subscript[c, 3]) (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])  +  (Subscript[c, 4]) (Subscript[x, 1]);
(Subscript[σ, 1, 2])  =  (Subscript[σ, 2,1  ]) = ((- (Subscript[c, 3]))/2) ((Subscript[x, 2])^2) - (Subscript[c, 1]) ((Subscript[x, 2])^2) -  (Subscript[c, 4]) 
              (Subscript[x, 2]);
(Subscript[σ, 2, 2])  =  (Subscript[c, 4]) (Subscript[x, 1])  +  (Subscript[c, 1]) (Subscript[x, 2]);

pdes = Table[
        Sum[(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, j, i]),  {j, 3}], {i, 
          3}]

Solve[pdes == 0,  {(Subscript[c, 1]),  (Subscript[c, 2]), (Subscript[c, 3])}]

The stress field given is in equilibrium if (Subscript[c, 1]) is equal to zero only. There is no restriction on (Subscript[c, 2])and (Subscript[c, 3]),  (Subscript[c, 4]).

(c)

(Subscript[σ, 1, 1])  =   2 ((Subscript[x, 1])^2)  -  
          2 (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2 ]) +  
          6 (Subscript[x, 3]);
(Subscript[σ, 1, 2])  =  (Subscript[σ, 2,1  ]) = -(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]) +  ((Subscript[x, 2])^2);
(Subscript[σ, 1, 3])  =  (Subscript[σ, 3,1  ]) = -(Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 3]);
(Subscript[σ, 2, 2])  =   -3 ((Subscript[x, 2])^2);
(Subscript[σ, 2, 3])  =  (Subscript[σ, 3,2  ]) = -5 (Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 2]);
(Subscript[σ, 3, 3])  =  2 ((Subscript[x, 1]) - 2  (Subscript[x, 2])) (Subscript[x, 3]);

pdes = Table[
        Sum[(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, j, i]),  {j, 3}], {i, 
          3}]

The stress field given is not in equilibrium

Question 2: This is similar to Question 1 but in this case we are asked to  Find the body force distribution to satisfy the differential equations of equilibrium:
(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, ji])  +  
          (Subscript[f, i])= 0  -> (Subscript[f, i ]) =  -(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, ji])

(Subscript[σ, 1, 1])  =   - 4 
          ((Subscript[x, 1])^2) ;
(Subscript[σ, 1, 2])  =  (Subscript[σ, 2,1  ]) = 
          ((Subscript[x, 1])^3) +  ((Subscript[x, 2])^2)  +  
            2 (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2]);
(Subscript[σ, 1, 3])  =  (Subscript[σ, 3,1  ]) = -4 (Subscript[x, 1]) +  2 ((Subscript[x, 2])^2) -  7  (Subscript[x, 3]);
(Subscript[σ, 2, 2])  =   3  ((Subscript[x, 2])^2)  -  
          2 ((Subscript[x, 3])^2);
(Subscript[σ, 2, 3])  =  (Subscript[σ, 3,2  ]) = 
          4  (Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 2]) (Subscript[x, 1]);
(Subscript[σ, 3, 3])  =  (2 (Subscript[x, 1]) - 3  (Subscript[x, 2])) (Subscript[x, 3]);

f  =  -  Table[
          Sum[(∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[σ, j, i]),  {j, 3}], {i, 
            3}]

Question 3:
Given:

(Subscript[σ, 1, 1]) =  - (((Subscript[F, 0]) (Subscript[x, 1]) 
              (Subscript[x, 2]))/I3)

Apply the differential equation of equilibrium:
(Subscript[σ, 11, 1]) +  (Subscript[σ, 21, 2]) =  
        0
to find (Subscript[σ, 21]):

(∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[σ, 1, 1])

(Subscript[σ, 1, 2]) =  ∫-(∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[σ, 1, 1]) \[DifferentialD](Subscript[x, 2]) +  C

Apply boundary condition:
\(TraditionalForm\`\(\(σ\_12\)\( | \_\(x = h\)\)\) = \ 0\) to obtain C

sol  =  
      Solve[((Subscript[σ, 1, 2]) /.  (Subscript[x, 2]) ->  h)  == 0,  
          C] // Flatten

σ(Subscript[σ, 1, 2]) =  (Subscript[σ, 1, 2]) /.  sol  // 
        Simplify

Apply the second differential equation of equilibrium 
\(TraditionalForm\`\(\(σ\_\(12, 1\) + \ σ\_\(\(22\)\(,\)\(2\)\(\ \)\)\)\(=\)\(\ \)\(0\)\(\ \)\)\)to find (Subscript[σ, 22]):

(∂_((Subscript[x, 1])))σ(Subscript[σ, 1, 2])

So (Subscript[σ, 22, 2]) =  0, or (Subscript[σ, 22]) =  f((Subscript[x, 1]))
The boundary condition in this case is:
(Subscript[σ, xx])((Subscript[x, 1]),  +- h) = 0, for all 0 < (Subscript[x, 1]) <  L. This is only possible if:
(Subscript[σ, 22]) =  0 everywhere

Question 4
Stress vector:

t = n . σ = ((Subscript[n, k]) 
            (Subscript[e, k]))  .  ((Subscript[σ, ij]) (Subscript[e, i]) (Subscript[e, j])) = (Subscript[n, i]) (Subscript[σ, ij]) (Subscript[e, j])

σ = (Subscript[σ, 11]) (Subscript[e, 1]) 
          (Subscript[e, 1])  +  (Subscript[σ, 12])( (Subscript[e, 1]) (Subscript[e, 2]) + (Subscript[e, 2]) 
              (Subscript[e, 1]))  +  (Subscript[σ, 22]) (Subscript[e, 2]) (Subscript[e, 2])

t = \(TraditionalForm\`σ\_11\ \(n\_1\) 
            e\_1 + \ \(σ\_12\)(\(n\_1\) e\_2\  + \ \(n\_2\) 
                e\_1)\  + \ \(σ\_22\) \(n\_2\) 
            e\_2\  = 
\((\(σ\_11\) 
                  n\_1 + \ σ\_12\ n\_2)\)\ e\_1 + \ \((\(σ\_12\) n\_1 + \ σ\_22\ n\_2)\)\ e\_2\)

(Subscript[t, n]) =  t  .  
            n  =  (Subscript[σ, 11]) (Subscript[n, 1]) (Subscript[n, 1]) +  
            2 (Subscript[σ, 12]) (Subscript[n, 1]) (Subscript[n, 2]) +  (Subscript[σ, 22]) (Subscript[n, 2]) 
              (Subscript[n, 2])
\(TraditionalForm\`t\_s = \ \@\(\(|\)\(t\)\( | \^2\)\(-\ t\_n\^2\)\)\)

Recall solution of Question 3:

(Subscript[σ, 11]) =  - (((Subscript[F, 0]) (Subscript[x, 1]) 
                (Subscript[x, 2]))/I3);
(Subscript[σ, 12]) = (((Subscript[F, 0]) (-(h^2) + (Subscript[x, 2]^2)))/(2 I3));
(Subscript[σ, 22]) =  0;

t=((Subscript[σ, 11]) 
                    (Subscript[n, 1]) +  (Subscript[σ, 12]) (Subscript[n, 2])) (Subscript[e, 1]) +  ((Subscript[σ, 12]) (Subscript[n, 1]) +  (Subscript[σ, 22]) (Subscript[n, 2])) (Subscript[e, 2]);
(Subscript[t, n]) =  t  .  n;

Evaluate at (L, h, 0)
(a) n = (1,0,0)

rules  =  {(Subscript[x, 1]) -> L,  (Subscript[x, 2]) ->  h,  
          (Subscript[x, 3]) ->  0,  (Subscript[n, 1]) -> 1,  (Subscript[n, 2]) ->  0,  
          (Subscript[n, 3]) -> 0} ;

basis  =  {(Subscript[e, 1]) ->  {1, 0, 0},  (Subscript[e, 2]) ->  {0, 1, 0},  
          (Subscript[e, 3]) ->  {0, 0, 1},  
          n ->  {(Subscript[n, 1]),  (Subscript[n, 2]),  (Subscript[n, 3])}  /.  
            rules};
t  /.  rules  /.  basis

(Subscript[t, n]) /.  rules  /.  basis

(Subscript[t, s]) =  (Sqrt[t . t  -  ((Subscript[t, n])^2)])  /.  
          rules /. basis

(b) n = (1/(Sqrt[3])) (-1, 1, 1)

rules  =  {(Subscript[x, 1]) -> L,  (Subscript[x, 2]) ->  h,  
          (Subscript[x, 3]) ->  0,  (Subscript[n, 1]) -> ((-1)/(Sqrt[3])),  
          (Subscript[n, 2]) ->  (1/(Sqrt[3])),  (Subscript[n, 3]) -> (1/(Sqrt[3]))} ;

basis  =  {(Subscript[e, 1]) ->  {1, 0, 0},  (Subscript[e, 2]) ->  {0, 1, 0},  
          (Subscript[e, 3]) ->  {0, 0, 1},  
          n ->  {(Subscript[n, 1]),  (Subscript[n, 2]),  (Subscript[n, 3])}  /.  
            rules};
t  /.  rules  /.  basis

(Subscript[t, n]) /.  rules  /.  basis

(Subscript[t, s]) =  (Sqrt[t . t  -  ((Subscript[t, n])^2)])  /.  rules  /.  basis  // 
        Simplify

Principal stresses

stress = (({{(Subscript[σ, 11]), (Subscript[σ, 12]), 0}, {(Subscript[σ, 12]), (Subscript[σ, 22]), 0}, {0, 0, 0}})) /. rules
Eigenvalues[
      stress]
Eigenvectors[stress]