16.21 Techniques of structural analysis and design

Home assignment 3

Question 1: Problem 3.26 from textbook

Show[Import["deformed-block.jpg",  "JPG"]];

(Subscript[u, 2]) = 0 ∀ (Subscript[x, 1])
\(TraditionalForm\`ϵ\_22\  = \ \(∂\_\(x\_2\)u\_2\  + \ \(1\/2\) \((∂\_\(x\_2\)u\_1)\)\^2\  + \ \(1\/2\) \((∂\_\(x\_2\)u\_2)\)\^2 = \ \(1\/2\) \((∂\_\(x\_2\)u\_1)\)\^2\)\)

(Subscript[u, 1])((Subscript[x, 1]) +  (Subscript[dx, 1]), (Subscript[x, 2]))  =  (Subscript[u, 1])((Subscript[x, 1]), 
          (Subscript[x, 2])),  ∀  (Subscript[x, 1]), then (∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 1])  =  0
\(TraditionalForm\`ϵ\_11 = \ \(∂\_\(x\_1\)u\_1\  + \ \(1\/2\) \((∂\_\(x\_1\)u\_1)\)\^2\  + \ \(1\/2\) \((∂\_\(x\_1\)u\_2)\)\^2 = \ 0\)\)

(Subscript[u, 1]) =  (Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 2])]  =  k ((Subscript[x, 2])^2)
(Subscript[u, 1])[b]  =  (Subscript[e, 0]) =  
          k (b^2),  => k  =  ((Subscript[e, 0])/(b^2))

(Subscript[u, 1])[x1_, x2_] :=  (Subscript[e, 0]) ((((x2/b)))^2)
(Subscript[u, 2])[x1_,  x2_]  :=  0

(Subscript[ϵ, 11]) =  (∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]), 
            (Subscript[x, 2])]  +  (1/2) ((((∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]),  (Subscript[x, 2])]))^2)  +  (1/2) ((((∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 2])[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])]))^2)

(Subscript[ϵ, 22]) =  (∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 2])[(Subscript[x, 1]), 
            (Subscript[x, 2])]  +  (1/2) ((((∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]),  (Subscript[x, 2])]))^2)  +  (1/2) ((((∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 2])[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])]))^2)

(Subscript[ϵ, 12 ]) =  (1/2) ((∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 2])[
                (Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])] +  (∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]), 
                (Subscript[x, 2])] +  (∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]), 
                  (Subscript[x, 2])] (∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 1])[(Subscript[x, 1]), 
                  (Subscript[x, 2])]  +  (∂_((Subscript[x, 1])))(Subscript[u, 2])[(Subscript[x, 1]), 
                  (Subscript[x, 2])] (∂_((Subscript[x, 2])))(Subscript[u, 2])[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])])

Question 3: Problem 3.27 from textbook
a)

(Subscript[u, 1]) =  
        u10[(Subscript[x, 1]), 
            (Subscript[x, 2])]  +  (Subscript[x, 3]) ϕ1[(Subscript[x, 1]), 
              (Subscript[x, 2])];
(Subscript[u, 2]) =  u20[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])]  +  (Subscript[x, 3]) ϕ2[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])]; 
    (Subscript[u, 3]) =  u30[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])] ;
(Subscript[u, 3]) = u30[(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])];
ϵ  =  
        Table[(1/2) ((∂_((Subscript[x, j])))(Subscript[u, i]) + (∂_((Subscript[x, i])))(Subscript[u, j])), {i, 3},  {j, 3}];
MatrixForm[ϵ]

ϵ[[1, 1]]

b)

Verification of compatibility equations

(∂_((Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 2])))ϵ[[1, 
                1]] +  (∂_((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 1])))ϵ[[2, 
                2]] ==  
        2 (∂_((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2])))ϵ[[1, 2]] // 
      Simplify
(∂_((Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 
                1]] +  (∂_((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 1])))ϵ[[3, 
                3]] ==  
        2 (∂_((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 3]] // 
      Simplify
(∂_((Subscript[x, 3]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[2, 
                2]] +  (∂_((Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 2])))ϵ[[3, 
                3]] ==  
        2 (∂_((Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[2, 3]] // 
      Simplify
(∂_((Subscript[x, 1])))(-(∂_((Subscript[x, 1])))ϵ[[2, 
                      3]] + (∂_((Subscript[x, 2])))ϵ[[1, 
                    3]] + (∂_((Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 
                    2]]) ==  (∂_((Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 1]] // Simplify
(∂_((Subscript[x, 2])))(-(∂_((Subscript[x, 2])))ϵ[[1, 
                      3]] + (∂_((Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 
                    2]] + (∂_((Subscript[x, 1])))ϵ[[2, 
                    3]]) ==  (∂_((Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 3])))ϵ[[2, 2]] // Simplify
(∂_((Subscript[x, 3])))(-(∂_((Subscript[x, 3])))ϵ[[1, 
                      2]] + (∂_((Subscript[x, 1])))ϵ[[2, 
                    3]] + (∂_((Subscript[x, 2])))ϵ[[1, 
                    3]]) == (∂_((Subscript[x, 2]), (Subscript[x, 1])))ϵ[[3, 3]] // Simplify

The compatibility conditions are satisfied identically, as expected.

Question 3:

ϵ = (10^(-6))(({{800, 400}, {400, 200}}));

The principal strains and directions are obtained directly from the eigenvalues and eigenvector of the strains:

Eigensystem[ϵ]

Conclusion: This state of strain actually corresponds to a uniaxial stretch of 0.1% in the direction (1/(Sqrt[5])){2,1}

Question 4
Show that for a symmetric tensor ((Subscript[a, ij]) = (Subscript[a, ji])) and a generic tensor ((Subscript[b, ij]))
(Subscript[a, ij]) 
          (Subscript[b, ij]) = (Subscript[a, ij]) sym(
              (Subscript[b, ij]))  =  (Subscript[a, ij]) (1/2) ((Subscript[b, ij]) + (Subscript[b, ji]))

Decomposing (Subscript[b, ij])in its symmetric and antisymmetric parts:

(Subscript[b, ij]) =  (1/2) ((Subscript[b, ij]) +  
                (Subscript[b, ji]))  +  (1/2) ( (Subscript[b, ij]) - (Subscript[b, ji]))

Then
(Subscript[a, ij]) (Subscript[b, ij]) =  (Subscript[a, ij])[(1/2) ((Subscript[b, ij]) +  (Subscript[b, ji]))  +  (1/2) ( 
            (Subscript[b, ij]) - (Subscript[b, ji]))]

	= (Subscript[a, ij]) sym(
            (Subscript[b, ij]))  +  (1/2) ((Subscript[a, ij]) (Subscript[b, ij]) -  (Subscript[a, ij]) 
                (Subscript[b, ji]))
	
	=(Subscript[a, ij]) sym(
            (Subscript[b, ij]))  +  (1/2) ((Subscript[a, ij]) (Subscript[b, ij]) -  (Subscript[a, ji]) 
                (Subscript[b, ji]))  // used symmetry of a: (Subscript[a, ij]) = (Subscript[a, ji])
	
	= (Subscript[a, ij]) sym(
            (Subscript[b, ij]))  +  (1/2) ((Subscript[a, ij]) (Subscript[b, ij]) -  (Subscript[a, ij]) 
                (Subscript[b, ij])) // exchanged dummy indices in last term
	
	= (Subscript[a, ij]) sym((Subscript[b, ij]))

Question 5:
Obtain the relationship between the engineering constants E, ν and the Lame constants λ, μ

Start from the the compliance matrix written in terms of the engineering constants

Dd= (1/EE)(({{1, -ν, -ν, 0, 0, 0}, {-ν, 1, -ν, 0, 0, 0}, {-ν, -ν, 1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0,  2 (1 + ν), 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 2 (1 + ν), 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 2 (1 + ν)}}));

and from the elastic moduli:

CC = (({{λ + 2  μ, λ, λ, 0, 0, 0}, {λ, λ +  2 μ, λ, 0, 0, 0}, {λ, λ, λ + 2  μ, 0, 0, 0}, {0, 0, 0,  μ, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, μ, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, μ}}));
Inverse[CC] // Simplify // 
      MatrixForm

Solve[Inverse[CC] == Dd,  {λ, μ}] // 
      Flatten